En mathématiques, on rencontre parfois des multiplications dans lesquelles le même nombre est répété plusieurs fois. Pour les écrire plus simplement, on utilise les puissances.
Par exemple, 2 × 2 × 2 peut s’écrire 2³. Le petit nombre placé en haut à droite s’appelle l’exposant.
Dans cette leçon, tu vas apprendre à comprendre cette écriture, à reconnaître la base et l’exposant, à lire et écrire des puissances, puis à les calculer.
Cette leçon accompagne les élèves dans la découverte des puissances et des exposants : reconnaître la base et l’exposant, comprendre l’écriture exponentielle et calculer des puissances simples.
Équivalent Québec : 1re et 2e secondaire
Les puissances contenant des nombres négatifs, comme (-2)² ou (-3)³, seront étudiées plus tard, dans la leçon consacrée aux nombres positifs et négatifs.
Comprendre et calculer une puissance
Une puissance est une façon plus courte d’écrire une multiplication dans laquelle le même nombre est répété plusieurs fois.
Pour comprendre une puissance, il faut simplement savoir reconnaître la base et l’exposant, puis transformer l’écriture en multiplication.
2 × 3 = 6
mais
2³ = 2 × 2 × 2 = 8 .
L’exposant 3 indique simplement que l’on écrit la base 2 trois fois dans la multiplication.
Observe bien la base et l’exposant avant de répondre.
1 Dans 5³, quelle est la base et quel est l’exposant ? +
2 Écris 4³ sous forme de multiplication. +
3 Écris 6 × 6 sous forme de puissance. +
4 Écris 3 × 3 × 3 × 3 sous forme de puissance. +
5 Développe 2⁵ sous forme de multiplication. +
6 Vrai ou faux : 3⁴ = 3 × 4 ? +
Le carré et le cube
Ces expressions viennent de la géométrie : le carré est notamment utilisé pour calculer des aires, tandis que le cube intervient dans les calculs de volume.
Nous n’irons pas plus loin ici, car ces notions seront étudiées plus en détail dans les leçons de géométrie.
Pour cette leçon, retiens simplement que l’exposant 2 se lit « au carré » et l’exposant 3 « au cube ».
Les exposants 1 et 0
Les exposants 1 et 0 correspondent à deux cas particuliers qu’il est utile de connaître.
Lorsqu’un nombre a pour exposant 1, sa valeur ne change pas : 7¹ = 7.
Lorsqu’un nombre non nul a pour exposant 0, le résultat est toujours 1 : 7⁰ = 1.
Observe bien l’exposant avant de répondre : avec 1, le nombre garde sa valeur ; avec 0, un nombre différent de 0 donne 1.
1 Calcule 8¹ . +
2 Calcule 14⁰ . +
3 Complète : 27¹ = ? +
4 Complète : 32⁰ = ? +
5 Complète les deux calculs : 19¹ = ? et 19⁰ = ? +
6 Vrai ou faux : 45⁰ = 0 ? +
Calculer avec des puissances dans une opération
Une puissance peut aussi apparaître dans un calcul avec d’autres nombres ou avec d’autres puissances.
On peut ainsi rencontrer des additions, des soustractions, des multiplications ou des divisions, par exemple 8² × 5, 4² + 7 ou encore 9² ÷ 5².
Dans cette partie, nous allons voir comment effectuer ces calculs étape par étape et quelles règles utiliser lorsque plusieurs puissances apparaissent dans une même opération.
Additionner ou soustraire avec des puissances
Lorsqu’une addition ou une soustraction contient une puissance, on commence par calculer la puissance.
Par exemple, dans 4² + 7, on calcule d’abord 4² = 16, puis on effectue l’addition : 16 + 7 = 23.
Si le calcul contient plusieurs puissances, on calcule chacune d’elles avant de faire l’addition ou la soustraction.
Multiplier ou diviser une puissance par un nombre
Lorsqu’une multiplication ou une division contient une puissance et un nombre sans exposant, on commence par calculer la puissance.
Par exemple, dans 8² × 5, on calcule d’abord 8² = 64, puis on effectue la multiplication : 64 × 5 = 320.
La même méthode s’applique à une division : on calcule d’abord la puissance, puis on divise.
Multiplier ou diviser deux puissances
Lorsqu’une multiplication ou une division contient deux puissances, on peut commencer par calculer chacune d’elles séparément.
Par exemple, dans 9² ÷ 5², on calcule d’abord 9² = 81 et 5² = 25. On effectue ensuite la division : 81 ÷ 25 = 3,24.
Cette méthode fonctionne toujours, quelles que soient les bases des deux puissances.
Multiplier ou diviser des puissances de même base
Lorsque deux puissances ont la même base, on peut simplifier le calcul en travaillant directement avec les exposants.
Pour une multiplication, on garde la même base et on additionne les exposants.
Pour une division, on garde la même base et on soustrait les exposants.
Ces règles fonctionnent uniquement lorsque les puissances ont la même base.
2³, c’est trois 2 multipliés : 2², c’est deux 2 multipliés : Si on les met ensemble, on obtient : Il y a maintenant cinq 2.
On peut donc écrire : C’est pour cela que l’on fait 3 + 2 = 5.
5⁶, c’est six 5 multipliés. Dans 5², il y a deux 5.
Lorsqu’on divise par 5², on retire donc deux 5 aux six 5 de départ.
Il en reste quatre : C’est pour cela que l’on fait 6 − 2 = 4.
Par exemple : 2³ × 2² = 2⁵.
Mais avec une addition, on calcule d’abord les puissances : 2³ + 2² = 8 + 4 = 12.
Calcule d’abord les puissances quand c’est nécessaire. Observe aussi si les puissances ont la même base.
1 Calcule : 4² + 7 +
2 Calcule : 30 − 3² +
3 Calcule : 8² × 5 +
4 Calcule : 10² ÷ 4 +
5 Calcule : 3² × 4² +
6 Calcule : 9² ÷ 5² +
7 Calcule : 2³ × 2² +
8 Calcule : 5⁶ ÷ 5² +
Les puissances de 10
Les puissances de 10 sont particulièrement faciles à reconnaître.
Lorsque l’exposant est un nombre entier positif, il indique simplement combien de zéros on écrit après le 1.
Par exemple, 10³ = 1 000 : l’exposant 3 correspond aux trois zéros placés après le 1.
Écrire un nombre comme une puissance de 10
On peut aussi partir d’un nombre comme 100, 1 000 ou 10 000 et l’écrire sous la forme d’une puissance de 10.
Pour trouver l’exposant, il suffit de compter le nombre de zéros après le 1.
Par exemple, 10 000 contient quatre zéros : on peut donc l’écrire 10⁴.
Multiplier un nombre par une puissance de 10
Une puissance de 10 peut aussi être multipliée par un autre nombre.
On commence par calculer la puissance de 10, puis on effectue la multiplication.
Par exemple, 4 × 10³ devient 4 × 1 000, donc 4 000.
Avec des nombres entiers, on peut aussi remarquer que multiplier par 10², 10³ ou 10⁴ revient à ajouter respectivement 2, 3 ou 4 zéros après le nombre.
6 × 10² = 600 → on ajoute 2 zéros.
6 × 10³ = 6 000 → on ajoute 3 zéros.
Diviser un nombre par une puissance de 10
Lorsqu’un nombre est divisé par une puissance de 10, on commence par calculer la puissance de 10, puis on effectue la division.
Par exemple, 8 000 ÷ 10³ devient 8 000 ÷ 1 000, donc 8.
Pour l’instant, nous allons utiliser des exemples qui donnent un nombre entier.
8 000 ÷ 10³ = 8 → 10³ correspond à 1 000.
4 500 ÷ 10² = 45 → 10² correspond à 100.
Utilise les différentes méthodes vues dans cette partie pour effectuer chaque exercice.
1 Calcule : 10⁴ +
2 Écris 100 000 sous la forme d’une puissance de 10. +
3 Calcule : 7 × 10³ +
4 Calcule : 32 × 10² +
5 Calcule : 9 000 ÷ 10³ +
6 Calcule : 48 000 ÷ 10² +
7 Complète : 6 × 10? = 6 000 +
8 Complète : 35 000 ÷ 10? = 35 +
Calculer une puissance d’une puissance
On peut rencontrer un calcul comme (2³)².
Cela signifie que 2³ est multiplié par lui-même deux fois :
(2³)² = 2³ × 2³
Or 2³ contient trois 2. Comme on a deux fois 2³, cela fait en tout six 2 multipliés :
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
On peut donc écrire :
(2³)² = 2⁶
Pour aller plus vite, on peut garder la même base et multiplier les deux exposants :
3 × 2 = 6
(2³)² signifie que 2³ est utilisé deux fois : Chaque 2³ contient trois 2 : Il y a donc au total six 2 : C’est pour cela que l’on fait :
Dans 2³ × 2², on additionne les exposants : 3 + 2.
Dans (2³)², on multiplie les exposants : 3 × 2.
Dans un calcul comme (2³)², garde la même base et multiplie les deux exposants.
1 Calcule : (2²)³ +
2 Calcule : (3²)² +
3 Calcule : (5²)³ +
4 Complète : (4³)² = 4? +
5 Vrai ou faux : (2³)⁴ = 2⁷ ? +
6
Complète les deux calculs :
3² × 3³ = 3?
(3²)³ = 3?
+
Comparer des puissances
Comparer des puissances signifie chercher laquelle représente le plus grand nombre.
Par exemple, entre 2³ et 2⁵, on veut savoir quelle puissance est la plus grande.
La méthode dépend de ce qui est identique dans les deux puissances : parfois elles ont la même base, parfois le même exposant, et parfois tout est différent.
Comparer des puissances de même base
Lorsque deux puissances ont la même base, on regarde leurs exposants.
Avec les nombres que nous utilisons dans cette leçon, la puissance qui a le plus grand exposant est la plus grande.
Par exemple, entre 2³ et 2⁵, l’exposant 5 est plus grand que l’exposant 3. Donc 2⁵ est plus grand que 2³.
Avec les nombres utilisés dans cette leçon, le plus grand exposant donne la plus grande puissance.
On compare les exposants : 5 est plus grand que 3.
L’exposant 4 est plus grand que l’exposant 2.
L’exposant 6 est plus grand que l’exposant 3.
Dans les exemples de cette leçon, le plus grand exposant correspond à la plus grande puissance.
Comparer des puissances qui ont le même exposant
Lorsque deux puissances ont le même exposant, on compare leurs bases.
Lorsque deux puissances ont le même exposant, la puissance qui a la plus grande base est la plus grande.
Par exemple, entre 3⁴ et 5⁴, l’exposant est le même : 4. Comme 5 est plus grand que 3, alors 5⁴ est plus grand que 3⁴.
Observe d’abord les deux puissances : ont-elles la même base ou le même exposant ?
1 Complète avec <, > ou = : 2³ ___ 2⁶ +
2 Complète avec <, > ou = : 5⁷ ___ 5⁴ +
3 Complète avec <, > ou = : 3⁴ ___ 7⁴ +
4 Complète avec <, > ou = : 9² ___ 4² +
5 Sans calculer les puissances, indique laquelle est la plus grande : 6³ ou 6⁸ +
6 Sans calculer les puissances, indique laquelle est la plus grande : 4⁵ ou 8⁵ +
7 Vrai ou faux : 3⁹ < 3⁵ +
8 Complète avec <, > ou = : 1³ ___ 1⁹ +
Calculer une puissance avec une calculatrice
Pour de petites puissances, on peut facilement faire le calcul à la main. Mais lorsque les nombres deviennent plus grands, une calculatrice peut être utile.
La plupart des calculatrices possèdent une touche permettant d’écrire une puissance. Selon le modèle, cette touche peut être indiquée par xʸ, xⁿ ou parfois ^.
Par exemple, pour calculer 7⁴, on entre la base 7, puis l’exposant 4 à l’aide de la touche des puissances.
À retenir sur les puissances et les exposants
Pour bien réussir, il faut surtout reconnaître la base, l’exposant et appliquer la bonne règle selon le calcul.
